Conjunt de nombres

En aquest tema anem a donar una petita introducció a les nocions de conjunts de nombres més significatives, essent la més important el conjunt dels nombres reals i complexos (imatginaris).

Però abans, per arribar als reals començarem pel conjunt dels nombres naturals.

Nombres naturals

Son els nombres sense signe ni xifres decimals.

Els nombres naturals són els que des del principi dels temps s'han fet servir per comptar. En la majoria de països s'han adoptat els nombres aràbigs, anomenats així perquè van ser els àrabs els qui els van introduïr a Europa, però va ser a l'Índia on es van inventar. Per exemple: 24 pomes, 2 camions, 575 peixos, són situacions on es compta amb nombres naturals.

El conjunt dels nombres naturals es denota com i es representen així

El nombre 1 és el primer nombre natural i cada nombre natural es forma sumant-li 1 a l'anterior.

En alguns àmbits matemàtics (especialment en teoria de nombres) és convenient no considerar el zero com un nombre natural, mentre que uns altres, especialment en teoria de conjunts, lògica i informàtica, predomina la postura oposada.

Quan restem o dividim dos nombres naturals, el resultat no és necessàriament un nombre natural, i per això diem que els nombres naturals no són tancats respecte aquestes dues operacions. En canvi, sí que són tancats respecte la suma i la multiplicació, és a dir, la suma o multiplicació de dos nombres naturals dóna sempre com a resultat un altre nombre natural.

La suma i el producte de dos nombres naturals, és sempre un altre nombre natural.

Tanmateix, no sempre la diferència de dos nombres naturals és un altre nombre natural.

Veiem que, quan el primer nombre és més gran o igual que el segon, es poden restar, però si el primer nombre és més petit que el segon, no es poden restar. Perquè es puguim restar, cal ampliar els nombres naturals.

Un exemple real es presenta quan anem a comprar am 100€ i demanem un producte que en val 125€. Quedem a deure 25€.

Nombres enters

Són els nombres amb signe.

Quan apareix la necessitat de distingir uns valors d'uns altres a partir d'una posició de referència és quan apareixen els nombres negatius. Per exemple, quan des del nivell 0 (nivell del mar) volem diferenciar per sobre del nivell del mar o per sota del mar (en les profunditats). O en el cas de les temperatures, positives o sota zero. Així podem estar a d'altitud, , o bussejar a de profunditat , i podem estar a 25 graus, , o a 5 graus sota 0, .

Per representar un deute de 25€, es va agafar com conveni de posar un signe menys davant de la quantitat.

Per denotar els nombres negatius afegim un signe menys al davant del nombre.

En definitiva, al conjunt format pels enters negatius, el nombre zero i els enters positius (o naturals) l'anomenem conjunt dels nombres enters.

Es denota pel símbol i es poden escriure com

Els nombres negatius sempre van precedits del signe menys: .

Els nombres positius van precedits del signe més: . Així posarem sempre en lloc de .

Els representem en una recta numèrica.

Una propietat important dels nombres enters és que són tancats respecte a les operacions d'addició, multiplicació i sostracció, és a dir, la suma, la resta i la multiplicació de dos nombres enters dóna un altre nombre enter. Noteu que el quocient de dos enters, per exemple 3 i 7, no necessàriament és un enter. Així, l'operació divisió no és tancada respecte als nombres enters.

Nombres racionals

Els nombres que es poden escriure en forma de fracció o en forma decimal.

Els nombres racionals són els nombres que resulten de la raó (divisió) entre dos nombres enters. Es denota el conjunt dels nombres racionals per , així que

El resultat d'un nombre racional pot ser un enter o bé un decimal , positiu o negatiu. A més, entre els decimals pot ser de dos tipus, amb un nombre limit de xifres que anomenarem decimal exacte , o bé amb un nombre il·limitat de xifres, que anomenarem decimal periòdic .

S'anomenen periòdics perquè en la part decimal hi ha una o més xifres que es repeteixen. Si just els nombres que es repeteixen comencen a les dècimes, els anomenem periòdics purs , mentre que en cas contrari els anomenem periòdics mixts .

Observerm que tot enter és un nombre racional, ja que, per exemple ; per tant, és un subconjunt de . De la mateixa manera que els naturals són també enters, concretament enters positius. Així tenim que:

Els nombres racionals són tancats no només respecte de les operacions d'addició, multiplicació i sostracció, sinó també de la divisió (excepte pel ).

Val dir que el conjunt de nombres racional inclou el conjunt dels nombres enters, que a la seva vegada inclou el conjunt de nombre naturals.

Nombres irracionals

Hem vist que qualsevol nombre racional es pot expressar com un nombre enter, un decimal exacte o un decimal periòdic.

Ara bé, no tots els nombres decimals són exactes o periòdics, i per tant, no tots els nombres decimals poden ser expressats com una fracció de dos enters.

Aquests nombres decimals que no són exactes ni periòdics es caracteritzen per tenir infinites xifres decimals no periòdiques, és a dir, que no s'acaben mai i no tenen un patró de repetició.

Observeu que el conjunt de nombres irracionals és el complementari del conjunt de nombres racionals.

Alguns exemples de nombres irracionals son , on per exemple prové de la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre.

— Aproximacions i errors:

Hi ha diversos tipus d'aproximacions, les més importants són:

P Aproximació per defecte o truncament: es tracta d'eliminar les xifres a partir de l'ordre que es consideri.

P Aproximació per excés: s'eliminen les xifres a partir de l'ordre considerat però augmenta en una unitat l'última xifra que deixem.

— Arrodoniment: s'eliminen les xifres a partir de l'ordre considerat, però en aquest cas cal fixar-se en la xifra següent a l'última que deixarem, si aquesta és un valor entre 0 i 4 hem de deixar la xifra tal com està, però si la xifra és 5 ó un nombre superior, aleshores hem de pujar un valor a l'última xifra que deixem. Evidentment l'arrodiment és la millor aproximació.

— Hi ha dos tipus d'errors:

P Error absolut:

és la diferència, en valor absolut, entre el valor real i l'aproximació:

P Error relatiu:

és el quocient, en valor absolut, entre l'error absolut i el valor real. L'error relatiu ens dona una idea de quina és la quantitat d'error en proporció. Aquest error es dóna en tant per u, si es vol treballar en tant per cent, s'haurà de multiplicar per 100.

— Acotacions d'errors

P Cota d'error absolut :

Quan arrodonim un nombre fins a un ordre cometem un error absolut que compleix que:

P Cota d'error relatiu:

Com has comprovat, hi ha nombres reals que tenen infinites xifres decimals, per la qual cosa, en general, no és possible donar el seu valor exacte. En alguns casos, com els racionals (amb la fracció generatriu) i els radicals, sí que és possible representar-los de manera exacta. Quan en un problema necessitem utilitzar un nombre amb infinites xifres decimals, en la pràctica fem anar un valor aproximat que ens permeti obtenir un resultat acceptable encara que no sigui exacte.

En l'escena pots veure les diferents formes de aproximació: per defecte, per excés, arrodoniment i truncament.

Nombres reales

El conjunt format pels nombres racionals i pels nombres irracionals s'anomena conjunt dels nombres reals i es denota amb .

Així doncs tenim que:

Tant els nombres racionals com els nombres irracionals són nombres reals. És a dir, tots els nombres que poden escriure's en forma decimal, sigui aquesta exacta, periòdica o no periòdica.

Una de les propietats més importants dels nombres reals és poder-los representar per punts en una línia recta. Es tria un punt anomenat origen, per representar el , i un altre punt, per comú a la dreta, per representar l'.

Resulta així de manera natural una correspondència entre els punts de la recta i els nombres reals, és a dir, que cada punt de la recta representa un únic nombre real i a cada nombre real li correspon un únic punt de la recta. Anomenem a aquesta recta la recta real. A la següent imatge es pot veure un exemple:

Nombre complex

Un nombre complex és en un nombre , que es pot expressar en la forma

on són nombres reals, i es la unitat imaginària, que satisfà la propietat fonamental

En l'expressió donada, s'anomena la del nombre complex, . i

El conjunt dels nombres complexos es representa per .

Més enllà de les matemàtiques, els nombres complexos tenen aplicacions en la major part de les ciències i la tecnologia. Moltes d'aquestes aplicacions són simplement una conseqüència dels avantatges de treballar amb nombres complexos en lloc de reals, però en alguns camps específics, com ara la mecànica quàntica o la teoria quàntica de camps, l'ús de la variable complexa en la descripció de les entitats físiques és essencial.