Criteris de divisibilitat
La divisibilitat és la part de l'aritmètica que estudia les condicions que
han de satisfer els nombres naturals per poder estar continguts en altres.
Un nombre A està inclòs en altre B quan A repetit una quantitat de vegades
com sumand dona B. Exemple: 5 està inclòs en 20, ja que 20=5+5+5+5= 4 vegades 5
=
.
El nombre 5, de l'exemple anterior, es diu divisor de 20 i el 20 es diu
múltiple de 5, llavors podem enunciar:
Propietat general de la divisibilitat
Un nombre és divisor d'un altre si aquest és múltiple i per ser múltiple
d'un nombre aquest haurà de ser-ne divisor.
Exemple: 40=8+8+8+8+8= 8·5, perquè 5 i 8 són divisors de 40 en ser 40
múltiple d'ells i 40 és múltiple de 5 i 8, ja que aquest són divisors de 40.
Un criteri de divisibilitat és un algorisme que aprofita la informació que
dóna el fet de tenir un nombre escrit en un sistema de numeració posicional en
una determinada base per decidir si és o no divisible entre un altre sense
necessitat de calcular la divisió per a comprovar si el residu és zero o no.
Els criteris de divisibilitat es fan servir en la descomposició en factors
primers d'un nombre quan el càlcul es fa a mà per a estalviar el treball de calcular
les divisions entre els possibles factors si el nombre no és divisible entre
ells.
Els diferents criteris de divisibilitat es poden classificar en base al
tipus de manipulació que cada un fa amb les xifres que representen el nombre
escrit en una base donada. Potser de dos tipus: criteris basats en les últimes
xifres i criteris basats en la suma de xifres.
Divisibilitat per 2
Un nombre és divisible per 2 quan l'última xifra és 0 o xifra parell.
Divisibilitat per 3
Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les seves xifres és múltiple
de 3.
Divisibilitat per 4
Un nombre és divisible per 4 quan ho és el nombre format per les dues
últimes xifres.
és
divisible per 4, perquè ho és 28.
Divisibilitat per 5
Un
nombre és divisible per 5 quan la seva última xifra es 0 o 5.
Divisibilitat per 6
Un
nombre és divisible per 6 quan ho és per 2 i per 3.
Divisibilitat per 7
Per
saber si un nombre és divisible per 7, primer hem de restar el nombre sense la
xifra dels unitats i el doble de la xifra dels unitats. Sí el resultat és zero
o múltiple de 7 doncs el nombre és divisible per 7. Sí el resultat donat és
diferent, el nombre no és divisible per 7.
1.946
és divisible per 7?.
Separem
la xifra de les unitats 194 i 6. Ara restem el nombre 194 menys el doble de la
xifra de les unitats 
Veiem
que 182 és un nombre molt gran, doncs repetim el procediment anterior
Separem
la xifra 18 i 2. Restem el nombre 18 menys el doble de la xifra de les unitats
2·2=4
14
és múltiple de 7. Per tant, 1.946 és divisible per 7.
Divisibilitat per 8
Un
nombre és divisible per 8 quan ho és el nombre format per les tres últimes
xifres.
23.032
és divisible per 8, perquè 032 és divisible per 8.
Divisibilitat per 9
Un
nombre és divisible per 9 quan la suma de les seves xifres és múltiple de 9.
Divisibilitat
per 10
Un
nombre és divisible per 10 si la xifra de las unitats és zero.
Divisibilitat per 11
Un
nombre és divisible per 11 quan la diferència entre la suma de les xifres de
lloc parell i les de lloc imparell, o viceversa, és múltiple d'11 o zero
242
és divisible per 11 perquè 
90.728
xifres de lloc parell 0+2=2, xifres de lloc imparell 9+7+8=24, 24-2=22 què és
múltiple d'11
Divisibilitat per 13
Per
saber si un nombre és divisible per 13, primer hem de restar el nombre sense la
xifra de les unitats i 9 vegades la xifra de les unitats.
Si
aquesta resta té com resultat 0 o múltiple de 13, doncs el nombre és divisible
per 13.
Veiem
un exemple:
3.705
és divisible per 13?
Primer
separem la xifra de les unitats: 370 i 5
Restem
la xifra sense les unitats i 9 vegades les unitats:
El
resultat és 13. Com és múltiple de 13, el nombre 3.705 és múltiple de 13.
Divisibilitat per 25
Un
nombre és divisible per 25 si les seves dues últimes xifres amb zeros o
múltiples de 25.
3.300,
1.250, 375, 25.425, 100, 25.050
Divisibilitat per
125
Un
nombre és divisible per 125 si les seves tres últimes xifres són zeros o
múltiple de 125
20.000,
1.250, 34.125, 375, 501.125, 1.000
Descomposició d'un
nombre en factors primers.
Per
descompondre un nombre en producte de factors primers el dividim entre els
nombres primers seguint un ordre: entre 2 tantes vegades com es pugui, entre 3
igualment tantes vegades com es pugui, entre 5, entre 7, entre 11 ... fins a
obtenir com a quocient la unitat.
Mínim comú múltiple
•
El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el menor dels seus múltiples
comuns.
•
Per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres:
1r Es descomponen els nombres com a producte de
factors primers.
2n Escollim els factors primers comuns i no
comuns, elevats al major exponent.
3r El seu producte és el m.c.m. dels nombres.
Màxim comú divisor
•
El màxim comú divisor de dos o més nombres és el major dels seus divisors
comuns.
•
Per calcular el màxim comú divisor de dos o més nombres:
1r
Es descomponen els nombres com a producte dels seus factors primers.
2n
Escollim els factors primers comuns elevats al menor exponent.
3r El seu producte és el m.c.d. dels nombres.